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物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑(四)

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物理、拓扑、逻辑与计算之罗塞塔石碑(四)


约翰·贝兹, 迈克·斯徳

2009年3月2日


2.3 幺半范畴


在物理学中,将两个并排放置的系统看作形成了一个单一的系统往往是很有用的。在拓扑学中,两个流形的无交并本身也是一个流形。在逻辑学中,两条陈述的合取还是一条陈述。在编程中,我们可以把两种数据类型组合成一种单一的“乘积类型”。“幺半范畴”的概念将所有这些例子统一在一个单一的框架当中。


一个幺半范畴C拥有一个函子C×CC,它取出两个对象X和Y,把它们放在一起给出一个新的对象XY。为了对此严格表述,我们需要范畴的笛卡尔积:


定义6 范畴C和C´的笛卡尔积C×C´是这样的范畴,其中:


对象是由一个对象X∈C与另一个对象X´∈C´组成的对(X,X´);


(X,X´)到(Y,Y´)的态射是由态射f:X→Y与态射f´:X´→Y´组成的对(f,f´);


  合成是按分量完成的:(g,g´)(f,f´)=(gf,g´f´);


恒同态射是按分量定义的:1(X,X´)=(1X,1X´)


麦克莱恩1963年定义了幺半范畴。其定义的微妙之处在于这一事实:(XY)Z与X⨂(YZ)通常并不相等。取而代之,我们必须指定它们之间的一个同构,叫做“结合子”。类似地,尽管幺半范畴具有“幺元对象”I,通常IX和XI并不等于X。取而代之,我们必须指定同构IXX和XIX。为了使其可控,这些同构必须接着满足某些方程:


定义7 一个幺半范畴由下列要素组成:


一个范畴 C


一个张量积函子⨂: C×CC


一个幺元对象I∈C,


一个称为结合子的自然同构,对每三个对象X,Y,Z∈C指定一个同构




Set 的情形,这说明集合X×X´的每一个点都来自X中的一个点和X´中的一个点。在物理上,这将表示组合系统XX´的每一个态g都是将系统X和系统X´的态组合起来所构建的。贝尔定理说明在量子理论中这是 对的。其原因就是,量子理论使用非笛卡尔幺半范畴Hilb


此外,在量子理论中我们不能 自由地复制和删除信息。伍特斯和祖瑞克就这一效应证明了一个精确的定理,并聚焦在复制上:“不可克隆定理”。你也可以证明一个“不可删除定理”。再一次地,这些结果依赖于Hilb 的非笛卡尔张量积。






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1 张文忠

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